Potències de representacions irreductibles dels grups puntuals finits

Potències de les irreps dels grups puntuals finits

Calculem els caràcters adaptats a la simetria permutacional d'acord amb la fórmula 3.8 de J.Planelles and C.M. Zicovich-Wilson, Int. J. Quantum Chem 47 (1993) 319.

A l'hora de mostrar resultats, seguim el criteri de Boyle , Int.J.Quantum Chem. 6 (1972) 725, en el sentit que dividim per la dimensió de la representació del grup Sn: Per exemple, en el càlcul de la tercera potència de la representació E del grup O, en la component en [2,1] que és de dimensió dos, mostrem E, quan hi ha dues E (una per cada component de [2,1]).

Exemplifiquem l'aplicació de la fórmula en el cas de la cinquena potència de l'irrep Eg del grup Oh adaptada a les classes de S5, com mostra aquesta imatge:

El càlcul de les potències de les representacions irreductibles reals unidimensionals és trivial: potències parelles generen la representació totalment simètrica, mentre que potències senars no alteren la representació. Per això dels 32 grups puntuals no incloem C1, C2, C2h,C2v,Ci, Cs i D2h. De la resta, encara que el càlcul de les representacions irreductibles reals unidimensionals és trivial, si que l'incloem.

Tria grup puntual:

Tria el número (irnum) de la representació irreductible que vols elevar a la n-èssima potència:

Cal de triar en el següent desplegable la potència n = 2,3,4,5,6 ó 7 que vulgues calcular (per tant, has de triar el grup de permutacions Sn associat amb la potència n)

Tria potència n (i per tant, grup de permutacions Sn ):

Independentment de la representació i la potència, el càlcul li pot costar un temps superior als 30 sec. perquè ha de carregar el kernel de Mathematica que és el llenguatge en que està fet el programa.

El càlcul s'efectua en una raspberry. Si observes que tarda més de minut i mig de tornar la solució pot ser la rasberry s'ha penjat. En tal cas pots descarregar-te el programa ací.

En descomprimir la carpeta trobaràs un fitxer de nom 0.README.txt amb unes poques instruccions que cal seguir.


Aquest és el programa que efectua el càlcul.

Exemple d'ús: càlcul dels termes de la configuració t2g3 d'un complex octaèdric (grup Oh ).

Per a la part orbital triem grup Oh, la representació irnum = 5, i acudim a la tercera potència (S3). El resultat és: {{[3]| A1g+ T1g+2 T2g},{[2 1]| Eg + T1g+ T2g},{[13],| A2g}}.

Per a l'espín (moment angular 1/2) acudim a la tercera potència de la representació D1/2 del grup SO(3). Trobem l'output: {{[3], D3/2},{[2 1],D1/2}}.

Combinant representacions conjugades de la part orbital i d'espín ([13] amb [3] i [2 1] amb [2 1]) trobem 4A1g+2E1g+2T1g+2T2g, que si contem les dimensions en resulten 4x1+2x(2+3+3) = 20. Efectivament, el nombre de microestats de la configuració t2g3 és Ω = (6!⁄3! 3!) = 20.