Potències de les irreps de SO3

Potències de les representacions irreductibles DJ amb J enter o semienter de SO(3):

Calculem els caràcters adaptats a la simetria permutacional d'acord amb la fórmula 3.8 de J.Planelles and C.M. Zicovich-Wilson, Int. J. Quantum Chem 47 (1993) 319.

Exemplifiquem l'aplicació de la fórmula en el cas de la tercera potència adaptada a la classe [2 1] de S3 com mostra aquesta imatge:

Cal triar el moment angular de la representació irreductible en el següent desplegable. Per exemple, si J=3/2 cal triar D3/2

Tria moment angular:

Cal de triar en el següent desplegable la potència n = 2,3,4,5,6 ó 7 que vulgues calcular (per tant, has de triar el grup de permutacions Sn associat amb la potència n)

Tria potència n (i per tant, grup de permutacions Sn ):

Independentment de la representació i la potència, el càlcul li pot costar un temps superior als 30 sec. perquè ha de carregar el kernel de Mathematica que és el llenguatge en que està fet el programa.

El càlcul s'efectua en una raspberry. Si observes que tarda més de minut i mig de tornar la solució pot ser la rasberry s'ha penjat. En tal cas pots descarregar-te el programa ací.

En descomprimir la carpeta trobaràs un fitxer de nom README.txt amb unes poques instruccions que cal seguir.


Aquest és el programa que efectua el càlcul

L'output és una llista de llistes com ara {{[3 22 ], 21}, D1/2 + D3/2 +2 D5/2 + D7/2 + D9/2 }}, que indica la representació, [3 22 ], la dimensió que té (21) i la descomposició com suma d'irreps ( D1/2 + ...D9/2).

Seguim el criteri de Boyle , Int.J.Quantum Chem. 6 (1972) 725, en el sentit de mostrar la descomposició per component, e.g. la representació [3 22 ] té dimensió 21, aleshores hi ha 21 vegades el que mostra la clau {D1/2 + ...D9/2}.

*************************************

Exemple d'ús: càlcul dels termes de la configuració d3.

Per a la part orbital acudim a la tercera potència (input 2: Sn = S3; SnSym = S3Sym; Sndim = S3dim;) de la representació D2 (input 1: j0=2;) trobem l'output: {{{[3],1}, D0+D2+D3+D4+D6},{{[2 1],2},D1+2 D2+D3+D4+D5},{{[13],1]},D1+D3}}

Per a l'espín (moment angular 1/2) acudim a la tercera potència (input 2: Sn = S3; SnSym = S3Sym; Sndim = S3dim;) de la representació D1/2 (input 1: j0=1/2;). Trobem l'output: {{{[3],1}, D3/2},{{[2 1],2},D1/2},{{[13],1]},0}}

1. Descartem la representació [3] de la part orbital perquè la seua dual d'espín, [13], té 0 components.

2. Ens queda per una banda: {{[2 1],2},D1+2 D2+D3+D4+D5} a combinar amb la seua dual d'espín {{[2 1],2},D1/2} que, com la dimensió (2J+1) de D1/2 és 2, tindrem doblets i, amb la nomenclatura S,P,D,F,G,H,I,J... per a les representacions DJ amb J=0,1,2,3,4,5,6,7..., dóna lloc als termes 2P + 2D (2) + 2F + 2G + 2H.

3. A més tenim la part orbital {{[13],1]},D1+D3}} a combinar amb la seua dual d'espín {{[3],1}, D3/2} que, com la dimensió (2J+1) de D3/2 és 4 tindrem quadruplets que amb la nomenclatura anterior dóna lloc als termes 4P + 4F.

En total: 2P + 2D (2) + 2F + 2G + 2H + 4P + 4F.

*************************************

Simetria forat-partícula: comprovem que les configuracions p2 i p4 generen els mateixos termes.

Els termes de la configuració p2 els calculem combinant les segons potències de les representacions D1 per a la part angular i D1/2 per a l'espín. Els termes de la configuració p4 els calculem combinant les quartes potències de D1 per a la part angular i D1/2 per a l'espín. Com les funcions d'ona han de ser antisimètriques cal combinar representacions conjugades del grup de permutacions. Les representacions conjugades del grup de permutacions venen representades per tableaux de Young transposats. Per exemple, en el cas dels dos grups que en interessa, S2 i S4, les irreps conjugades les mostrem en la figura:

Seleccionant moments angulars i potències, podeu comprovar que els outputs que se troben són:

que, com observem, dónen lloc als mateixos termes.